Đăng nhập Đăng ký

ID: 22205

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle f(x)$ liên tục trên đoạn $\displaystyle [-\ln 2; \ln 2]$ và thỏa mãn $\displaystyle f(x) + f(-x) = \frac{1}{e^x + 1}$ .
Biết $\displaystyle \int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x)\text{d}x = a\ln 2 + b\ln 3$ ( $\displaystyle a; b \in \mathbb{Q}$ ). Tính $\displaystyle P = a + b$ .

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle I = \int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x)\text{d}x$ .
Đặt $\displaystyle t = -x \Rightarrow \text{d}t = -\text{d}x$ .
Đổi cận: Với $\displaystyle x = -\ln 2 \Rightarrow t = \ln 2$ ; Với $\displaystyle x = \ln 2 \Rightarrow t = -\ln 2$ .
Ta được $\displaystyle I = -\int_{\ln 2}^{-\ln 2} f(-t)\text{d}t = \int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(-t)\text{d}t = \int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(-x)\text{d}x$ .
Khi đó ta có: $\displaystyle 2I = \int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x)\text{d}x + \int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(-x)\text{d}x = \int_{-\ln 2}^{\ln 2} [f(x) + f(-x)]\text{d}x = \int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{1}{e^x + 1}\text{d}x$ .
Xét $\displaystyle \int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{1}{e^x + 1}\text{d}x$ . Đặt $\displaystyle u = e^x \Rightarrow \text{d}u = e^x\text{d}x$
Đổi cận: Với $\displaystyle x = -\ln 2 \Rightarrow u = \frac{1}{2}$ ; $\displaystyle x = \ln 2 \Rightarrow u = 2$ .
Ta được $\displaystyle \int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{1}{e^x + 1}\text{d}x = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{e^x}{e^x(e^x + 1)}\text{d}x = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{u(u + 1)}\text{d}u$
$\displaystyle = \int_{\frac{1}{2}}^2 \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1}\right)\text{d}u = (\ln\vert{}u\vert{} - \ln\vert{}u + 1\vert{})\Big\vert{}_{\frac{1}{2}}^2 = \ln 2$
Vậy ta có $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ , $\displaystyle b = 0 \Rightarrow a + b = \frac{1}{2}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi