Đăng nhập Đăng ký

ID: 22208

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R}$ và $\displaystyle f(x) > 0$ khi $\displaystyle x \in [0; a]$ ( $\displaystyle a > 0$ ). Biết $\displaystyle f(x) \cdot f(a - x) = 1$ , tính tích phân $\displaystyle I = \int_0^a \frac{\text{d}x}{1 + f(x)}$ .

Giải thích đáp án:
$\displaystyle I = \int_0^a \frac{\text{d}x}{1 + f(x)}$ (1) Đặt $\displaystyle t = a - x \Rightarrow \text{d}t = -\text{d}x$ Đổi cận:
$\displaystyle \Rightarrow I = \int_a^0 \frac{-\text{d}t}{1 + f(a - t)} = \int_0^a \frac{1}{1 + f(a - t)}\text{d}t = \int_0^a \frac{1}{1 + f(a - x)}\text{d}x$ (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)
$\displaystyle (1) + (2) \Rightarrow 2I = \int_0^a \left[\frac{1}{1 + f(x)} + \frac{1}{1 + f(a - x)}\right]\text{d}x$
$\displaystyle = \int_0^a \frac{1 + f(a - x) + 1 + f(x)}{1 + f(x) \cdot f(a - x) + f(x) + f(a - x)}\text{d}x = \int_0^a \frac{2 + f(a - x) + f(x)}{2 + f(a - x) + f(x)}\text{d}x = \int_0^a \text{d}x = a \Rightarrow I = \frac{a}{2}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi