Nhận biết (M1)

...

Đáp án đúng:

Giải thích đáp án:

VD1: Cho hàm số cho bởi phương trình tham số $\begin{cases} x = t^2 + 1 \\ y = t^3 - t \end{cases}$. Tính đạo hàm $y'(x)$ và $y''(x)$ theo $t$.
Lời giải:
Ta có $x'(t) = 2t$ và $y'(t) = 3t^2 - 1$.
Đạo hàm cấp 1: $y'(x) = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{3t^2 - 1}{2t}$.
Đạo hàm cấp 2: $y''(x) = \frac{y''(t)x'(t) - x''(t)y'(t)}{(x'(t))^3} = \frac{6t(2t) - 2(3t^2 - 1)}{(2t)^3} = \frac{12t^2 - 6t^2 + 2}{8t^3} = \frac{3t^2 + 1}{4t^3}$.


VD2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $\begin{cases} x = 2\cos t \\ y = 2\sin t \end{cases}$ tại điểm ứng với tham số $t = \frac{\pi}{4}$.
Lời giải:
Tại $t = \frac{\pi}{4}$, ta có $x(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$, $y(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$.
Đạo hàm: $x'(t) = -2\sin t$, $y'(t) = 2\cos t$.
Hệ số góc tại $t = \frac{\pi}{4}$: $k = \frac{y'(\pi/4)}{x'(\pi/4)} = \frac{2\cos(\pi/4)}{-2\sin(\pi/4)} = -1$.
Phương trình tiếp tuyến: $y - \sqrt{2} = -1(x - \sqrt{2}) \Leftrightarrow y = -x + 2\sqrt{2}$.


VD3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $\begin{cases} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t \end{cases}$ và trục $Ox$ với $t \in [0, 2\pi]$.
Lời giải:
Áp dụng công thức $A = \int_a^b y(t)x'(t)dt$ với $x'(t) = 1 - \cos t$.
$A = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 dt = \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t)dt$.
$A = \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \frac{1+\cos 2t}{2})dt = \int_0^{2\pi} (\frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t)dt$.
$A = (\frac{3}{2}t - 2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t) \Big|_0^{2\pi} = 3\pi$.


VD4: Tìm tọa độ Đề-các $(x, y)$ của điểm có tọa độ cực $M(4, \frac{5\pi}{6})$.
Lời giải:
Áp dụng công thức chuyển đổi: $x = r\cos\varphi$ và $y = r\sin\varphi$.
Hoành độ: $x = 4\cos(\frac{5\pi}{6}) = 4(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3}$.
Tung độ: $y = 4\sin(\frac{5\pi}{6}) = 4(\frac{1}{2}) = 2$.
Vậy tọa độ Đề-các của điểm là $M(-2\sqrt{3}, 2)$.


VD5: Tính diện tích hình quạt cực giới hạn bởi đường xoắn ốc Archimedes $r = 2\varphi$ và hai tia $\varphi = 0$, $\varphi = \frac{\pi}{2}$.
Lời giải:
Áp dụng công thức diện tích $A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\varphi$.
$A = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} (2\varphi)^2 d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} 4\varphi^2 d\varphi = 2\int_{0}^{\pi/2} \varphi^2 d\varphi$.
$A = 2 \left[ \frac{\varphi^3}{3} \right]_0^{\pi/2} = 2 \left( \frac{(\pi/2)^3}{3} \right) = \frac{\pi^3}{12}$.


VD6: Tính hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tọa độ cực $r = 1 + \cos\varphi$ tại điểm có $\varphi = \frac{\pi}{2}$.
Lời giải:
Ta có $r = 1 + \cos\varphi \Rightarrow r' = -\sin\varphi$.
Tại $\varphi = \frac{\pi}{2}$: $r = 1, r' = -1, \sin(\pi/2) = 1, \cos(\pi/2) = 0$.
Hệ số góc: $k = \frac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi}$.
$k = \frac{(-1)(1) + (1)(0)}{(-1)(0) - (1)(1)} = \frac{-1}{-1} = 1$.