ID: 24496

Nhận biết (M1)
Trong một thử nghiệm công nghệ mới, lực hãm điện từ của hệ thống phanh tái sinh được điều khiển tự động phụ thuộc vào vận tốc tức thời của tàu theo quy luật phi tuyến $\displaystyle F_{\text{đt}}(v) = k \cdot v$ với hệ số tỉ lệ $\displaystyle k = 10\,000$ N $\displaystyle \cdot$ s/m. Đoàn tàu điện ngầm có khối lượng $\displaystyle 200$ tấn ( $\displaystyle 200\,000$ kg) bắt đầu hãm phanh từ tốc độ ban đầu $\displaystyle v_0 = 20{,}0$ m/s. Bỏ qua hoàn toàn mọi lực cản và ma sát cơ học khác. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu Đúng Sai
Lực hãm điện từ tác dụng lên đoàn tàu ngay tại thời điểm bắt đầu hãm phanh có độ lớn bằng đúng $\displaystyle 200$ kN
Tốc độ tức thời $\displaystyle v(t)$ của đoàn tàu trong quá trình hãm phanh giảm theo hàm số mũ của thời gian theo quy luật $\displaystyle v(t) = 20{,}0 \cdot e^{-0{,}050t}$ (m/s) (với $\displaystyle t$ tính bằng giây)
Quãng đường đoàn tàu đi được kể từ lúc hãm phanh cho đến khi dừng lại hoàn toàn (thời gian hãm phanh tiến đến vô cùng) bằng đúng $\displaystyle 400$ m
Công suất thu hồi điện năng tức thời của hệ thống đạt giá trị cực đại tại thời điểm $\displaystyle t = 20{,}0$ s kể từ lúc bắt đầu hãm phanh
Giải thích đáp án:
(a) Phát biểu a đúng vì: Tại thời điểm khởi đầu hãm phanh $\displaystyle t = 0$ , tốc độ tức thời của tàu là $\displaystyle v_0 = 20{,}0$ m/s. Độ lớn lực hãm điện từ tức thời tương ứng tác dụng lên tàu là:
$\displaystyle F_{\text{đt}}(0) = k \cdot v_0 = 10\,000 \cdot 20{,}0 = 200\,000\text{\,N} = 200\text{\,kN}.$
(b) Phát biểu b đúng vì: Theo định luật II Newton cho chuyển động thẳng dọc theo đường ray, lực hãm ngược chiều vận tốc:
$\displaystyle M \cdot a = -F_{\text{đt}}(v) \implies M \cdot \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -k \cdot v \implies \dfrac{\mathrm{d}v}{v} = -\dfrac{k}{M}\mathrm{d}t.$
Tích phân hai vế từ thời điểm ban đầu ( $\displaystyle t=0, v=v_0$ ) đến thời điểm $\displaystyle t$ bất kỳ:
$\displaystyle \int_{v_0}^{v(t)} \dfrac{\mathrm{d}v}{v} = -\dfrac{k}{M} \int_{0}^{t} \mathrm{d}t \implies \ln \left( \dfrac{v(t)}{v_0} \right) = -\dfrac{k}{M}t \implies v(t) = v_0 \cdot e^{-\frac{k}{M}t}.$
Thay các giá trị số $\displaystyle v_0 = 20{,}0$ m/s, $\displaystyle M = 200\,000$ kg, $\displaystyle k = 10\,000$ N $\displaystyle \cdot$ s/m:
$\displaystyle \dfrac{k}{M} = \dfrac{10\,000}{200\,000} = 0{,}050\text{\,s}^{-1} \implies v(t) = 20{,}0 \cdot e^{-0{,}050t}\text{\,(m/s)}.$
(c) Phát biểu c đúng vì: Quãng đường tổng cộng tàu đi được từ lúc phanh đến khi dừng hẳn (thời gian $\displaystyle t$ tiến tới vô cùng) là tích phân của vận tốc tức thời theo thời gian:
$\displaystyle s = \int_{0}^{\infty} v(t)\mathrm{d}t = \int_{0}^{\infty} 20{,}0 \cdot e^{-0{,}050t}\mathrm{d}t = \left[ \dfrac{20{,}0}{-0{,}050} \cdot e^{-0{,}050t} \right]_0^{\infty} = 0 - (-400) = 400\text{\,m}.$
(d) Phát biểu d sai vì: Công suất cơ học tiêu thụ tức thời của lực hãm bằng $\displaystyle P_{\text{cơ}}(t) = F_{\text{đt}}(t) \cdot v(t) = k \cdot v(t)^2 = k \cdot v_0^2 \cdot e^{-0{,}10t}$ . Công suất điện thu hồi tương ứng tỉ lệ thuận với công suất cơ học:
$\displaystyle P_{\text{điện}}(t) = \eta \cdot P_{\text{cơ}}(t) = \eta \cdot k \cdot v_0^2 \cdot e^{-0{,}10t}.$
Hàm số này giảm dần theo thời gian, do đó công suất điện năng hồi lưu tức thời đạt giá trị cực đại ngay tại thời điểm ban đầu $\displaystyle t = 0$ và giảm dần tiến dần về không, chứ không thể đạt cực đại tại thời điểm $\displaystyle t = 20{,}0$ s.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi