Đăng nhập Đăng ký

ID: 25641

Nhận biết (M1)
Cho các số thực dương $\displaystyle a, b$ thỏa mãn $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{ax^2}{1-\cos(bx)} = 2$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\displaystyle P = \frac{a + 16}{b}$ bằng:

Giải thích đáp án:
Sử dụng giới hạn lượng giác cơ bản $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(bx)}{x^2} = \frac{b^2}{2}$ , ta biến đổi giới hạn đã cho:
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ax^2}{1-\cos(bx)} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{\frac{1-\cos(bx)}{x^2}} = \frac{a}{\frac{b^2}{2}} = \frac{2a}{b^2}$
Theo giả thiết bài toán, ta có:
$\displaystyle \frac{2a}{b^2} = 2 \Leftrightarrow a = b^2$
Thay $\displaystyle a = b^2$ vào biểu thức $\displaystyle P$ , ta được:
$\displaystyle P = \frac{b^2 + 16}{b} = b + \frac{16}{b}$
Vì $\displaystyle b$ là số thực dương, áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) cho hai số dương $\displaystyle b$ và $\displaystyle \frac{16}{b}$ , ta có:
$\displaystyle b + \frac{16}{b} \ge 2\sqrt{b \cdot \frac{16}{b}} = 2\sqrt{16} = 8$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle b = \frac{16}{b} \Leftrightarrow b^2 = 16 \Leftrightarrow b = 4$ (do $\displaystyle b>0$ ). Khi đó $\displaystyle a = 16$ .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\displaystyle P$ là $\displaystyle 8$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi