Đăng nhập Đăng ký

ID: 30893

Nhận biết (M1)
Kéo thả số thích hợp vào phép tính
$\displaystyle 8$ | $\displaystyle 100$ | $\displaystyle \frac{3}{2}$ |
$\displaystyle 1$ ) Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một thỏa mãn $\displaystyle a+b+c=3$ .Giá trị biểu thức
$\displaystyle A=\frac{a^{2}(a-b c)+b^{2}(b-c a)+c^{2}(c-a b)}{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}$
là.....
$\displaystyle 2$ ) Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn $\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ . Giá trị biểu thức
$\displaystyle B=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)$
là.....
$\displaystyle 3$ ) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=10$ .Giá trị của biểu thức:
$\displaystyle C=(x y+y z+z x)^{2}+(x^{2}-y z)^{2}+(y^{2}-z x)^{2}+(z^{2}-x y)^{2}$
là......
Đáp án đúng:
$\displaystyle A$ = $\displaystyle \frac{3}{2}$
$\displaystyle B$ = $\displaystyle 8$
$\displaystyle C$ = $\displaystyle 100$
Giải thích:
$\displaystyle 1$ )Biến đổi biểu thức A và sử dụng $\displaystyle a+b+c=3$ ta được
$\displaystyle A=\frac{a^{2}(a-b c)+b^{2}(b-c a)+c^{2}(c-a b)}{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-a b c(a+b+c)}{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}$ $\displaystyle =\frac{a^{3}+b^{3}+3 a b(a+b)+c^{3}-3 a b c-3 a b(a+b)}{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}=\frac{(a+b)^{3}+c^{3}-3 a b(a+b+c)}{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}$ $\displaystyle =\frac{(a+b+c)\left[(a+b)^{2}-c(a+b)+c^{2}\right]-9ab}{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)}=\frac{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)}{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)}=\frac{3}{2}$
$\displaystyle 2$ )Ta có $\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ nên $\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ . Ta có
$\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+c^{3}-3abc-3ab(a+b)$ $\displaystyle =(a+b)^{3}+c^{3}-3ab(a+b+c)=(a+b+c)\left[(a+b)^{2}-c(a+b)+c^{2}\right]-3ab(a+b+c)$ $\displaystyle =(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\right)=\frac{1}{2}(a+b+c)\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]$
Do đó từ $\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ ta được $\displaystyle (a+b+c)\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]=0$ .
Hay ta được $\displaystyle a+b+c=0$ hoặc $\displaystyle a=b=c$ .
+ Nếu $\displaystyle a+b+c=0$ thì $\displaystyle a+b=-c; b+c=-a; c+a=-b$ . Khi đó ta có
$\displaystyle B=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=-1$
+ Nếu $\displaystyle a=b=c$ thì ta được $\displaystyle B=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=2.2.2=8$
$\displaystyle 3$ )Biến đổi biểu thức P và áp dụng $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=10$ ta được
$\displaystyle C=(x y+y z+z x)^{2}+(x^{2}-y z)^{2}+(y^{2}-z x)^{2}+(z^{2}-x y)^{2}$ $\displaystyle =x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+2xyz(x+y+z)+x^{4}+y^{4}+z^{4}$ $\displaystyle +x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}-2xyz(x+y+z)$ $\displaystyle =x^{4}+y^{4}+z^{4}+2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=10^{2}=100$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi