Đăng nhập Đăng ký

ID: 30898

Nhận biết (M1)
Cho dãy số $\displaystyle (u_n)$ biết $\displaystyle \begin{cases} u_1 = 99 \\ u_{n+1} = u_n - 2n - 1, n \geq 1 \end{cases}$ . Hỏi số $\displaystyle -861$ là số hạng thứ mấy?
Giải thích đáp án:
Ta có:
$\displaystyle u_{n+1} - u_n = -2n - 1$
Đây là một cấp số cộng bậc hai. Để tìm công thức tổng quát, ta có thể viết các hiệu của các số hạng liên tiếp:
$\displaystyle u_2 - u_1 = -2(1) - 1 = -3$
$\displaystyle u_3 - u_2 = -2(2) - 1 = -5$
$\displaystyle u_4 - u_3 = -2(3) - 1 = -7$
...
$\displaystyle u_n - u_{n-1} = -2(n-1) - 1 = -2n + 1$
Cộng dồn các đẳng thức trên, ta có:
$\displaystyle u_n - u_1 = (-3) + (-5) + \dots + (-2n + 1)$
Đây là tổng của một cấp số cộng với số hạng đầu là $\displaystyle -3$ , số hạng cuối là $\displaystyle -2n+1$ và số số hạng là $\displaystyle (n-1)$ .
Tổng của cấp số cộng này là:
$\displaystyle S_{n-1} = \dfrac{(n-1)[(-3) + (-2n+1)]}{2} = \dfrac{(n-1)(-2n-2)}{2}$
$\displaystyle = \dfrac{-2(n-1)(n+1)}{2} = -(n^2 - 1) = -n^2 + 1$ .
Vậy, ta có:
$\displaystyle u_n - u_1 = -n^2 + 1$
$\displaystyle u_n = u_1 - n^2 + 1 = 99 - n^2 + 1 = 100 - n^2$ .
Bây giờ ta tìm $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle u_n = -861$ .
$\displaystyle 100 - n^2 = -861$
$\displaystyle n^2 = 100 + 861$
$\displaystyle n^2 = 961$
$\displaystyle n = \sqrt{961} = 31$ .
Vậy, số $\displaystyle -861$ là số hạng thứ $\displaystyle 31$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi