Đăng nhập Đăng ký

ID: 30901

Nhận biết (M1)
Cho dãy số $\displaystyle (u_n)$ thỏa mãn $\displaystyle u_1 = \sqrt{2}$ và $\displaystyle u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ với mọi $\displaystyle n \ge 1$ . Tìm $\displaystyle u_{2023}$ .
Giải thích đáp án:

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp số hạng tổng quát của dãy là $\displaystyle u_n = 2 \cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$ .
Dễ thấy, với $\displaystyle n=1$ ta có $\displaystyle u_1 = 2 \cos\dfrac{\pi}{2^2} = 2 \cos\dfrac{\pi}{4} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ (đúng).
Giả sử mệnh đề đúng với $\displaystyle n=k$ , $\displaystyle \forall k \in \mathbb{N}^*$ nghĩa là $\displaystyle u_k = 2 \cos\dfrac{\pi}{2^{k+1}}$ ta phải chứng minh mệnh đề đúng với $\displaystyle n=k+1$ nghĩa là $\displaystyle u_{k+1} = 2 \cos\dfrac{\pi}{2^{k+2}}$ .
Thật vậy, $\displaystyle u_{k+1} = \sqrt{2+u_k} = \sqrt{2 + 2 \cos\dfrac{\pi}{2^{k+1}}} = \sqrt{4 \cos^2\dfrac{\pi}{2^{k+2}}} = 2 \left| \cos\dfrac{\pi}{2^{k+2}} \right|$ .
Vì $\displaystyle \dfrac{\pi}{2^{k+2}} \in (0; \dfrac{\pi}{2}]$ nên $\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{2^{k+2}} > 0$ .
Vậy $\displaystyle u_{k+1} = 2 \cos\dfrac{\pi}{2^{k+2}}$ .
Áp dụng công thức tổng quát trên ta có $\displaystyle u_{2023} = 2 \cos\dfrac{\pi}{2^{2024}}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi