Đăng nhập Đăng ký

ID: 30906

Nhận biết (M1)
Cho dãy số $\displaystyle (u_n)$ với $\displaystyle u_n = \dfrac{1}{1 \cdot 4} + \dfrac{1}{2 \cdot 5} + \dots + \dfrac{1}{n \cdot (n+3)}$ . Dãy số $\displaystyle (u_n)$ bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số $\displaystyle m$ và $\displaystyle M$ nào dưới đây?
Giải thích đáp án:
Rõ ràng $\displaystyle u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*$ nên $\displaystyle (u_n)$ bị chặn dưới bởi $\displaystyle m=0$ .
Mặt khác, ta có $\displaystyle \dfrac{1}{k(k+3)} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+3} \right)$ .
Suy ra
$\displaystyle u_n=\frac{1}{3}\left[\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right)+\cdots\right.$
$\displaystyle \left.+\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)\right]$
$\displaystyle \begin{aligned} & =\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right) \\ & =\frac{1}{3}\left(\frac{11}{6}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right) \\ & =\frac{11}{18}-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)\end{aligned}$
Vì $\displaystyle \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \dfrac{1}{n+3} \right) > 0$ nên $\displaystyle u_n < \dfrac{11}{18}$ .
Vậy dãy số $\displaystyle (u_n)$ bị chặn trên bởi $\displaystyle M = \dfrac{11}{18}$ .
Do đó $\displaystyle m=0, M=\dfrac{11}{18}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi