Đăng nhập Đăng ký

ID: 31353

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle y = f \left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $\displaystyle \left(0 ; + \infty\right)$ , biết $\displaystyle f^{'} \left(x\right) + \left(2 x + 3\right) f^{2} \left(x\right) = 0$ , $\displaystyle f \left(x\right) > 0 , \forall x > 0$ và $\displaystyle f \left(1\right) = \frac{1}{6}$ . Giá trị của biểu thức $\displaystyle P = f \left(1\right) + f \left(2\right) + f \left(3\right) + . . . + f \left(2024\right)$ bằng:

Giải thích đáp án:
Lời giải:
Từ gt $\displaystyle - \frac{f^{'} \left(x\right)}{f^{2} \left(x\right)} = 2 x + 3 \Rightarrow \int - \frac{f^{'} \left(x\right)}{f^{2} \left(x\right)} d x = \int \left(2 x + 3\right) d x$
$\displaystyle \frac{1}{f \left(x\right)} = x^{2} + 3 x + C \Rightarrow f \left(x\right) = \frac{1}{x^{2} + 3 x + C} \Rightarrow f \left(1\right) = \frac{1}{4 + C}$
Mà $\displaystyle f \left(1\right) = \frac{1}{6}$ nên $\displaystyle \frac{1}{4 + C} = \frac{1}{6} \Rightarrow C = 2 \Rightarrow f \left(x\right) = \frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$
$\displaystyle \begin{matrix} P = f \left(1\right) + f \left(2\right) + f \left(3\right) + . . . + f \left(2024\right) \\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{2025} - \frac{1}{2026} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2026} = \frac{506}{1013}\end{matrix}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi